(本题满分16满分)设A、B分别为椭圆(a>b>0)的左右顶点,P为直线x=u上不同于(u,0)的任一点,若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B的点M、N,研究点B与以MN为直径的圆的位置关系.
略
因A(-a,0),B(a,0),设M(x1,y1),由P、A、M三点共线可得:P(u,),于是
=
(x1-a,y1),=(u-a,
),
=( x1-a)(u-a)+
……3分
因为M点在椭圆上,所以代入上式整理可得:
=
.……6分
由点M异于顶点A、B,所以x1-a>0,……8分
1)当a<u<时,a(a2+b2)-u(a2-b2)>0,所以
>0,
于是∠MPB为锐角,此时∠MBN与∠MBP互补,从而∠MBN为钝角,故点B在MN为直径的圆内。
2)当u=时,a(a2+b2)-u(a2-b2)=0,所以
=0,于是∠MPB为直角,故点B在以MN为直径的圆上。……12分
3)当u>时,a(a2+b2)-u(a2-b2)<0,则
<0,于是,∠MPB为钝角,此时∠MBN与∠MBP互补,从而∠MBN为锐角,故点B在MN为直径的圆外。…………14分
当u<a时,a(a2+b2)-u(a2-b2)>0,所以>0,∠MPB为锐角,此时∠MBN与∠MBP相等,从而∠MBN为锐角,故点B在MN为直径的圆外。…………………………………16分
点评:本题考查直线与圆位置关系,直线与椭圆位置关系,灵活运用相关知识解决问题的能力,运算能力,属于难题
科目:高中数学 来源: 题型:
a1+2a2+3a3+…+nan |
1+2+3+…+n |
n(n+1)(2n+1) |
6 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分16满分)设正项数列的前
项和为
,
为非零常数.已知对任意正整数
,当
时,
总成立.
(1)证明:数列是等比数列;(2) 若正整数
成等差数列,求证:
≥
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分16分)已知数列的前
项和为
,且
.数列
中,
,
.(1)求数列
的通项公式;(2)若存在常数
使数列
是等比数列,求数列
的通项公式;(3)求证:①
;②
.
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