Question

（本题满分16满分）设A、B分别为椭圆(a>b>0)的左右顶点,P为直线x=u上不同于(u,0)的任一点,若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B的点M、N,研究点B与以MN为直径的圆的位置关系.

Answer 1

略

解析:

因A(-a,0),B(a,0),设M(x₁,y₁),由P、A、M三点共线可得：P(u,),于是＝

（x₁-a,y₁）,=(u-a, ),=( x₁-a)(u-a)+      ……3分

因为M点在椭圆上，所以代入上式整理可得：

＝.……6分

由点M异于顶点A、B,所以x₁-a>0,……8分

1)当a<u<时，a(a²+b²)-u(a²-b²)>0,所以>0,

于是∠MPB为锐角，此时∠MBN与∠MBP互补，从而∠MBN为钝角，故点B在MN为直径的圆内。

2）当u=时，a(a²+b²)-u(a²-b²)＝0，所以＝0，于是∠MPB为直角，故点B在以MN为直径的圆上。……12分

3）当u>时，a(a²+b²)-u(a²-b²)<0,则<0,于是，∠MPB为钝角，此时∠MBN与∠MBP互补，从而∠MBN为锐角，故点B在MN为直径的圆外。…………14分

当u<a时，a(a²+b²)-u(a²-b²)>0,所以>0，∠MPB为锐角，此时∠MBN与∠MBP相等，从而∠MBN为锐角，故点B在MN为直径的圆外。…………………………………16分

点评：本题考查直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系，灵活运用相关知识解决问题的能力，运算能力，属于难题