Question

若（3x-1）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵（x∈R），记S₂₀₁₅=

2015

i=1

ai

3i

，则S₂₀₁₅的值为

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,数列的求和

专题：计算题,二项式定理

分析：由（3x-1）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵（x∈R），得展开式的每一项的系数a_r，代入到S₂₀₁₅=

2015

i=1

ai

3i

求值即可．

解答： 解：由题意得：a_r=C₂₀₁₅^r（-1）^2015-r•3^r，
∴S₂₀₁₅=

2015

i=1

ai

3i

=C₂₀₁₅¹-C₂₀₁₅²+C₂₀₁₅³-…-C₂₀₁₅²⁰¹⁴+C₂₀₁₅²⁰¹⁵
∵C₂₀₁₅⁰-C₂₀₁₅¹+C₂₀₁₅²-C₂₀₁₅³+…+C₂₀₁₅²⁰¹⁴-C₂₀₁₅²⁰¹⁵=（1-1）²⁰¹⁵=0
∴S₂₀₁₅=1．
故答案为：1．

点评：此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法．