Question

【题目】已知F1（﹣1，0），F2（1，0），曲线C1上任意一点M满足 ；曲线C2上的点N在y轴的右边且N到F2的距离与它到y轴的距离的差为1．
（1）求C1 ， C2的方程；
（2）过F1的直线l与C1相交于点A，B，直线AF2 ， BF2分别与C2相交于点C，D和E，F．求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点， 为实轴长的双曲线的左支，故有 ，

∴C1的方程为 ，

设N（x，y）（x＞0），则有 ，化简得y2=4x（x＞0），

即C2的方程为y2=4x（x＞0）．

（2）解：设直线l的方程为x=ky﹣1（0≤k2＜1），

联立方程组 ，消去x得 ，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有 ，

设AF2，BF2的斜率分别为k1，k2，则有 ，

∴ ， ，

直线AF2的方程为y=k1（x﹣1），代入y2=4x有 ，

设C（x3，y3），D（x4，y4），则有 ，

∴ ，

同理 ．

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）判断点M的轨迹是以F1，F2为焦点， 为实轴长的双曲线的左支，然后求解椭圆方程．设N（x，y）（x＞0），则有 ，化简可得C2的方程．（2）设直线l的方程为x=ky﹣1（0≤k2＜1），联立方程组 ，消去x，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理转化求解斜率关系，直线AF2的方程为y=k1（x﹣1），代入y2=4x，求出CD，EF然后推出结果．