Question

已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²cos2θ=8，曲线C₂的极坐标方程为θ=

π

6

，曲线C₁、C₂相交于A、B两点．（p∈R）
（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；
（Ⅱ）曲线C₁与直线

x=1+ 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．

Answer 1

分析：（I）由

ρ2cos2θ=8 θ= π 6

得：ρ2cos

π

3

=8，即可得到ρ．进而得到点A，B的极坐标．
（II）由曲线C₁的极坐标方程ρ²cos2θ=8化为ρ²（cos²θ-sin²θ）=8，即可得到普通方程为x²-y²=8．将直线

x=1+ 3 2 t y= 1 2 t

代入x²-y²=8，整理得t2+2

3

t-14=0．进而得到|MN|．

解答：解：（Ⅰ）由

ρ2cos2θ=8 θ= π 6

得：ρ2cos

π

3

=8，
∴ρ²=16，
即ρ=±4．
∴A、B两点的极坐标为：A(4，

π

6

)，B(-4，

π

6

)或B(4，

7π

6

)．
（Ⅱ）由曲线C₁的极坐标方程ρ²cos2θ=8化为ρ²（cos²θ-sin²θ）=8，
得到普通方程为x²-y²=8．
将直线

x=1+ 3 2 t y= 1 2 t

代入x²-y²=8，
整理得t2+2

3

t-14=0．
∴|MN|=

(2 3 )2-4×(-14)

1

=2

17

．

点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、此时方程化为普通方程、弦长公式等基础知识与基本技能方法．