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已知双曲线的离心率等于2,且与椭圆
x2
25
+
y2
9
=1有相同的焦点,求此双曲线方程.
分析:由椭圆的性质,可得椭圆
x2
25
+
y2
9
=1的焦点坐标,设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0),则可得c=4,又由双曲线的离心率可得a的值,进而可得b,将a、b的值代入双曲线方程可得答案.
解答:解:∵椭圆
x2
25
+
y2
9
=1的焦点坐标为(-4,0)和(4,0),
则可设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0),
∵c=4,又双曲线的离心率等于2,即
c
a
=2,
∴a=2.
∴b2=c2-a2=12;
故所求双曲线方程为
x2
4
-
y2
12
=1.
点评:本题考查双曲线的标准方程以及椭圆的简单几何性质,注意区分并记忆椭圆、双曲线的几何性质及标准方程的形式.
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已知双曲x+y+1=0的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等
5
,则该双曲线的方程为(  )

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x2
a2
-
y2
b2
=1
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+
2
=0
与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点(-
1
2
,-1).

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