Question

【题目】不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】由题意知： 在上恒成立,

令f(x)=ln(x+2)+a(x2+x),x∈[1,+∞)，

∵在上恒成立,，

∴fmin(x)0，

f′(x)= +2ax+a=，

令g(x)= ，

(1)若a=0,则g(x)=1,∴f′(x)>0，

∴f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴fmin(x)=f(1)=0，符合题意；

(2)若a>0,则g(x)的图象开口向上,对称轴为x=，

∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,∴gmin(x)=g(1)=1a，

①若1a0,即0<a1,则g(x)0,∴f′(x)0,由(1)可知符合题意；

②若1a<0,即a>1,则存在x0∈(1,+∞)，

使得当x∈(1,x0)时,g(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0，

∴f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增，

∴fmin(x)<f(1)=0，不符合题意；

(3)若a<0,则g(x)的图象开口向下,对称轴为x=，

∴g(x)在[1,+∞)上单调递减,gmax(x)=g(1)=1a>0，

∴存在x1∈(1,+∞),使得当x∈(1, x1)时,g(x)>0,当x∈(x1,+∞)时,g(x)<0，

∴f(x)在(1, x1)单调递增,在(x1,+∞)上单调递减，

∴f(x)在(1,+∞)上不存在最小值，不符合题意；

综上,a的取值范围是[0,1].

故选B.