Question

（2012•东城区二模）对于数列{a_n} （n=1，2，…，m），令b_k为a₁，a₂，…，a_k中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7．定义数列{C_n}：c₁，c₂，c₃，…，c_m是自然数1，2，3，…，m（m＞3）的一个排列．
（Ⅰ）当m=5时，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{C_n}；
（Ⅱ）是否存在数列{C_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{C_n}，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得，创新数列为3，4，4，5，5的所有数列 {C_n}有两个．
（Ⅱ）存在数列{C_n}，使它的创新数列为等差数列．设数列{C_n} 的创新数列为{ e_n}，若{ e_n}为等差数列，设其公差为d，经过检验，当d=0或1时，存在数列{C_n}，使它的创新数列为等差数列．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得，创新数列为3，4，4，5，5的所有数列 {C_n}有两个，即数列3，4，1，5，2；
或数列3，4，2，5，1．  …（4分）
（Ⅱ）存在数列{C_n}，使它的创新数列为等差数列．
设数列{C_n} 的创新数列为{ e_n}，（n=1，2，3，4…，m），
因为e_m 是 c₁，c₂，c₃，…，c_m 中的最大值，所以 e_m=m．
由题意知，e_k为 c₁，c₂，c₃，…c_k 中最大值，所以，e_k≤e_k+1，且 e_k∈{1，2，3，…，m}．
若{ e_n}为等差数列，设其公差为d，则d=e_k+1-e_k≥0 且d∈N．
当d=0 时，{ e_n}为常数列，又 e_m=m，所以数列{ e_n}为 m，m，…，m．
此时数列{C_n}是首项为m的任意一个符合条件的数列．  …（8分）
当d=1时，因为e_m=m，所以数列{ e_n} 为1，2，…，m．
此时，数列{c_n} 为1，2，3，…，m．  …（10分）
当d≥2时，因为 e_m=e₁+（m-1）d≥e₁+（m-1）2=2m-2+e₁，
又m＞3，e₁ 为正整数，所以 e_m＞m，这与 e_m=m 矛盾，所以此时{ e_n}不存在，即不存在{C_n}使得它的创新数列为公差d≥2的等差数列．…（13分）
综上，当数列{C_n}为以m为首项的任意一个符合条件的数列，或{C_n}为数列1，2，3，…，m时，它的创新数列为等差数列．…（14分）

点评：本题主要考查创新数列的定义，等差数列的定义和性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．