Question

已知函数y=g（x）与f（x）=log_a（x+1）（0＜a＜1）的图象关于原点对称．
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）函数F（x）=f（x）+g（x），解不等式F（t²-1）＜0．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上的任意一点，M关于原点的对称点N（-x，-y）在函数f（x）=log_a（x+1）的图象上，代入f（x）解析式化简可得；
（2）由题意可判F（x）为定义域为（-1，1）的奇函数且单调递减，故原不等式可化为F（t²-1）＜F（0），即t²-1＜0，解不等式可得．

解答：解：（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上的任意一点，
则M关于原点的对称点N（-x，-y）在函数f（x）=log_a（x+1）的图象上，
∴-y=log_a（-x+1），即y=-log_a（1-x），
（2）由题意可得F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

，
由

1+x

1-x

＞0可解得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），
又F（-x）=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-loga

1+x

1-x

=-F（x），
∴F（x）为奇函数，必有F（0）=0
又∵F（x）=loga

1+x

1-x

=loga(

2

1-x

-1)，0＜a＜1，
∴F（x）为（1-，1）上的减函数，
∴F（t²-1）＜0可化为F（t²-1）＜F（0），
由单调性可得t²-1＜0，解得-1＜t＜1

点评：本题考查函数的解析式的求解和函数的性质，属基础题．