Question

7．已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，S₅=20，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1=b_n+a_n，且b₁=1，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“累加求和”与“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由题可知，${a_1}•{a_7}={a_3}^2$，得a₁=2d…（2分）
因为S₅=20，所以a₃=4，所以a₁=2，d=1…（4分）
所以a_n=n+1…（6分）
（2）由（1）可知，b_n+1-b_n=n+1，
所以：b₂-b₁=2，b₃-b₂=3，b₄-b₃=4，…，b_n-b_n-1=n．
由累加法可得：${b_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，所以$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$…（9分）
所以T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．…（12分）

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“累加求和”与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．