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(12分)(2011•陕西)设椭圆C:过点(0,4),离心率为
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.
(Ⅰ)(Ⅱ)

试题分析:(Ⅰ)根据题意,将(0,4)代入C的方程得b的值,进而由椭圆的离心率为,结合椭圆的性质,可得=;解可得a的值,将a、b的值代入方程,可得椭圆的方程.
(Ⅱ)根据题意,可得直线的方程,设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程,化简可得方程x2﹣3x﹣8=0,解可得x1与x2的值,由中点坐标公式可得中点的横坐标,将其代入直线方程,可得中点的纵坐标,即可得答案.
解:(Ⅰ)根据题意,椭圆过点(0,4),
将(0,4)代入C的方程得,即b=4
=
,∴a=5
∴C的方程为
(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为的直线方程为
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程代入C的方程,得
即x2﹣3x﹣8=0,解得
∴AB的中点坐标

即中点为
点评:本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质,涉及直线与椭圆问题,一般要联立两者的方程,转化为一元二次方程,由韦达定理分析解决.
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