Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-

1

2

x²，x∈[0，2]，a＞0．
（1）若存在x₀∈[0，2]，使得函数y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线斜率k≤1，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用函数y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线斜率k≤1，分离参数，可得a≥

1

x0+1

-x₀，求出右边的最小值，即可求实数a的取值范围；
（2）确定函数在[0，2]上单调递减，即可求函数f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln（x+a）-

1

2

x²，
∴f′（x）=

1

x+a

-x，
∴

1

x0+a

-x0≤1，
∴a≥

1

x0+1

-x₀，
由y=

1

x+1

-x，可得y′=

1

(x+1)2

-1，
∴函数在[0，2]上单调递减，
∴函数的最小值为-

5

3

，
∴a≥-

5

3

；
（2）f′（x）=

1

x+a

-x=

-x2-ax+1

x+a

，
∵x∈[0，2]，a＞0，
∴f′（x）＜0，
∴函数在[0，2]上单调递减，
∴x=2时，函数取得最小值f（2）=ln（2+a）-2．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．