【题目】已知椭圆
的离心率为
，短轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过点
作两条直线，分别交椭圆于
，
两点（异于
点）.当直线
，
的斜率之和为定值
时，直线
是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1) 
(2)见解析
【解析】
（I）根据椭圆的离心率和短轴长列方程组，解方程组求得
的值，进而求得椭圆方程.（II）当直线
的斜率存在时，设出直线的方程
，根据
化简得到表达式.联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，并代入上面求得的表达式，化简后可求得
的关系式，带回直线的方程，由此求得直线所过定点.当直线斜率不存在时，设直线的方程为
，利用
，求出
的值，由此判断此时直线所过定点.
（Ⅰ）由题意知：
，
，
.
解得
，
，
，所以椭圆方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线方程为
，
，
由，得
，整理得
联立
，消去
得
，由题意知二次方程有两个不等实根.
∴
，
，
代入
得
.
整理得
.
∵
，∴
，∴
，即
.
所以直线过定点
.
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
，
，其中
.
∴ 
，由，得
，∴
.
∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点.
综上所述，直线恒过定点.
发散思维新课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第
行的所有数字之和为
，若去除所有为1的项，依次构成数列
，则此数列的前55项和为( )
A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件
发生的概率；
（2）设
为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）
（1）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
（2）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）
（3）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，怡好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图,
是正方形ABCD的外接圆,点P在劣弧AB上(P不与A、B重合),DP分别交AO、AB于点Q、T, 在点P处的切线交DA的延长线于点E,劣弧BC的中点为F.
(1)问:何时F、T、E三点共线?请说明理由.
(2)求比值
的取值范围.
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