Question

【题目】已知椭圆C 的离心率为 ，点 在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M． （I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）由题意得 ，解得a2=4，b2=1． 所以椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形，分2种情况讨论：
①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1满足题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（xM ， yM）．
将y=kx+m代入 ．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0， ．
故 ， ．
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即 ．
则 ．
由直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），过点（1，1），得m=1﹣k．
则 ，
则（4k2+1）（8k﹣3）=0．
则 ．满足△＞0．
所以直线l的方程为 时，四边形OAPB为平行四边形．
综上所述：直线l的方程为 或x=1
【解析】（Ⅰ）根据题意，可得 ，解得a2与b2的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论，（1）当直线l与x轴垂直时，分析可得直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l为y=kx+m，分析A、B、M的坐标，将y=kx+m代入 ．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由根与系数的关系可得M的坐标，进而由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分可得P的坐标，代入椭圆的标准方程可得 ，进而分析可得 ，解可得k、m的值，即可得答案．