Question

椭圆

x2

a2

+y²=1上存在一点P，使得它对两个焦点F₁，F₂的张角∠F₁PF₂=

π

2

，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A．（0，

  2

  2

  ]
• B．[

  2

  2

  ，1）
• C．（0，

  1

  2

  ]
• D．[

  1

  2

  ，1）

Answer 1

分析：首先根据椭圆方程，求出它的离心率为：e=

a2-1

a

，然后设点椭圆上P的坐标为（x₀，y₀），满足∠F₁PF₂=

π

2

，利用数量积为0列出关于x₀、y₀和a、c的等式．接下来利用椭圆方程消去y₀，得到关于x₀的式子，再利用椭圆上点横坐标的范围：-a≤x₀≤a，建立关于字母a的不等式，最后解此不等式得出a的范围，代入离心率关于a的表达式，即可得到该椭圆的离心率的取值范围．

解答：解：∵椭圆方程为：

x2

a2

+y²=0，
∴b²=1，可得c²=a²-1，c=

a2-1

∴椭圆的离心率为e=

a2-1

a

又∵椭圆上一点P，使得角∠F₁PF₂=

π

2

，
∴设点P的坐标为（x₀，y₀），结合F₁（-c，0），F₂（c，0），
可得

PF1

=（-c-x₀，-y₀），

PF2

=（c-x₀，-y₀），
∴

PF1

•

PF2

=x02-c2+y02=0…①
∵P（x₀，y₀）在椭圆

x2

a2

+y²=1上，
∴y02=1-

x02

a2

，代入①可得x02-c2+1-

x02

a2

=0
将c²=a²-1代入，得x02-a²-

x02

a2

+2=0，所以x02=

a4-2a2

a2-1

，
∵-a≤x₀≤a
∴0≤x02≤a2，即0≤

a4-2a2

a2-1

≤a2，解之得1＜a²≤2
∴椭圆的离心率e=

a2-1

a

=

1- 1 a2

∈[

2

2

，1）．

点评：本题给出一个特殊的椭圆，在已知椭圆上一点对两个焦点张角为直角的情况下，求椭圆离心率的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于中档题．