【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 , , .
(Ⅰ)求b和c;
(Ⅱ)求sin(A﹣B)的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,cos2A=1﹣2sin2A=﹣ ,解得:sinA= ,∵ ,可得:bccosA=﹣1<0,可得:cosA=﹣ =﹣ ,
解得:bc=3,①
又∵ ,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得8=b2+c2+2,
∴解得:b2+c2=6,可得:(b+c)2﹣2bc=(b+c)2﹣6=6,解得:b+c=2 ,②
∴联立①②解得:b=c= .
(Ⅱ)∵ ,b=c= ,sinA= ,
∴sinB= = ,cosB= = ,
∴sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB= ﹣(﹣ )× =
【解析】(Ⅰ)利用二倍角的余弦函数公式可求sinA,利用平面向量数量积的运算bccosA=﹣1<0,根据同角三角函数基本关系式可得cosA,bc=3,又由余弦定理解得:b+c=2 ,联立即可解得b,c的值.(Ⅱ)由(Ⅰ)利用正弦定理可求sinB,利用同角三角函数基本关系式可求cosB,利用两角差的正弦函数公式即可计算得解.
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义和余弦定理的定义,掌握正弦定理:;余弦定理:;;即可以解答此题.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 .
(1)求曲线C1 , C2的直角坐标方程;
(2)已知点P,Q分别是线C1 , C2的动点,求|PQ|的最小值.
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【题目】设函数f(x)=x(x﹣1)2 , x>0.
(1)求f(x)的极值;
(2)设0<a≤1,记f(x)在(0,a]上的最大值为F(a),求函数 的最小值;
(3)设函数g(x)=lnx﹣2x2+4x+t(t为常数),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的实数m有且只有一个,求实数m和t的值.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1),其中a为实数.
(Ⅰ)讨论并求出f(x)的极值;
(Ⅱ)在a<1时,是否存在m>1,使得对任意的x∈(1,m)恒有f(x)>0,并说明理由;
(Ⅲ) 确定a的可能取值,使得存在n>1,对任意的x∈(1,n),恒有|f(x)|<(x﹣1)2 .
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【题目】对于函数f(x),若存在常数s,t,使得取定义域内的每一个x的值,都有f(x)=﹣f(2s﹣x)+t,则称f(x)为“和谐函数”,给出下列函数 ①f(x)= ②f(x)=(x﹣1)2 ③f(x)=x3+x2+1 ④f(x)=ln( ﹣3x)cosx,其中所有“和谐函数”的序号是( )
A.①③
B.②③
C.①②④
D.①③④
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【题目】设事件A表示“关于的一元二次方程有实根”,其中, 为实常数.
(Ⅰ)若为区间[0,5]上的整数值随机数, 为区间[0,2]上的整数值随机数,求事件A发生的概率;
(Ⅱ)若为区间[0,5]上的均匀随机数, 为区间[0,2]上的均匀随机数,求事件A发生的概率.
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