Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角．

（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；
（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，

又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，

∵BD⊥PA，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC

（2）解：直线l不能与平面ABCD平行．

理由如下：

∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，

∴CD与AB有交点P，∴P∈l，

∴直线l∩平面ABCD=P，

∴直线l不能与平面ABCD平行．

【解析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．