Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若0＜a＜1，f（x+2）+f（3-2x）＞0，求x的取值范围；
（3）若f(1)=

8

3

，且函数g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k的值；
（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式f（x+2）+f（3-2x）＞0，即可求x的取值范围；
（3）根据f(1)=

8

3

求出a，然后利用函数的最小值建立方程求解m．

解答：解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数．
∴f（0）=0，即k-1=0，解得k=1．
（2）∵f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数．
∴不等式f（x+2）+f（3-2x）＞0等价为f（x+2）＞-f（3-2x）=f（2x-3），
∵0＜a＜1，
∴f（x）在R上是单调减函数，
∴x+2＜2x-3，
即x＞5．
∴x的取值范围是（5，+∞）．
（3）∵f(1)=

8

3

，∴a-

1

a

=

8

3

，
即3a²-8a-3=0，
解得a=3或a=-

1

3

（舍去）．
∴g（x）=3^2x+3^-2x-2m（3^x-3^-x）=（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x），
令t=3^x-3^-x，
∵x≥1，
∴t≥f(1)=

8

3

，
∴（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x）+2=（t-m）²+2-m²，
当m≥

8

3

时，2-m²=-2，解得m=2，不成立舍去．
当m＜

8

3

时，（

8

3

）²-2m×

8

3

+2=-2，
解得m=

25

12

，满足条件，
∴m=

25

12

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数的性质和运算，考查学生的运算能力，综合性较强．