Question

9．已知f（x）=cosx（msinx-cosx）+sin²（π+x）（m＞0）的最小值为-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=2ccosA-acosB，求f（C）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}+1}$sin（2x-φ），其中tanφ=$\frac{2}{m}$，由其最小值为-2，可得m，进而可求φ，求得函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解．
（Ⅱ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC=2sinCcosA，结合sinC≠0，可求A=$\frac{π}{3}$，由范围C∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得2C-$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx（msinx-cosx）+sin²（π+x）
=msinxcosx-cos²x+sin²x
=$\frac{1}{2}$msin2x-cos2x
=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}+1}$sin（2x-φ），其中tanφ=$\frac{2}{m}$，
∴由其最小值为-2，可得：$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}+1}$=2，解得：m²=12，
∵m＞0，可得：m=2$\sqrt{3}$，tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z…6分
（Ⅱ）∵bcosA=2ccosA-acosB，即bcosA+acosB=2ccosA，
∴由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，可得：sinC=2sinCcosA，
∵C为三角形内角，sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$，
∴C∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得：2C-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（C）=2sin（2C-$\frac{π}{6}$）∈（-1，2]…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．