Question

【题目】设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1（n∈N*），Sn为{an}的前n项和．证明：对任意n∈N* ，
（I）当0≤a1≤1时，0≤an≤1；
（II）当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1；
（III）当a1= 时，n﹣ ＜Sn＜n．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）用数学归纳法证明． ①当n=1时，0≤an≤1成立．
②假设当n=k（k∈N*）时，0≤ak≤1，
则当n=k+1时， =（ ）2+ ∈[ ][0，1]，
由①②知， ．
∴当0≤a1≤1时，0≤an≤1．
（Ⅱ）由an+1﹣an=（ ）﹣an=（an﹣1）2≥0，知an+1≥an ．
若a1＞1，则an＞1，（n∈N*），
从而 = ﹣an=an（an﹣1），
即 =an≥a1 ，
∴ ，
∴当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1 ．
（Ⅲ）当 时，由（Ⅰ），0＜an＜1（n∈N*），故Sn＜n，
令bn=1﹣an（n∈N*），由（Ⅰ）（Ⅱ），bn＞bn+1＞0，（n∈N*），
由 ，得 ．
∴ =（b1﹣b2）+（b2﹣b3）+…+（bn﹣bn+1）=b1﹣bn+1＜b1= ，
∵ ≥ ，
∴nbn2 ，即 ，（n∈N*），
∵ = = ，
∴b1+b2+…+bn [（ ）+（ ）+…+（ ）]= ，
即n﹣Sn ，亦即 ，
∴当 时， ．
【解析】（Ⅰ）用数学归纳法能证明当0≤a1≤1时，0≤an≤1．（Ⅱ）由an+1﹣an=（ ）﹣an=（an﹣1）2≥0，知an+1≥an ． 从而 =an≥a1 ， 由此能证明当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1 ． （Ⅲ）当 时，Sn＜n，令bn=1﹣an（n∈N*），则bn＞bn+1＞0，（n∈N*），由 ，得 ．从而 ，（n∈N*），由此能证明当 时， ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．