Question

(13分)如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上.
（Ⅰ）求证：平面；   
（Ⅱ）当且为的中点时,求四面体体积.

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）四面体体积为。

(I)根据面面垂直的判定定理，只须证明即可.
（II）.
（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，……….1
∵，
∴PD⊥AC，……………………………………….3
∴AC⊥平面PDB，……………………………….4

∴平面………………………..6
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，…………………………7
∵O，E分别为DB、PB的中点，
　 　∴OE//PD，
∴OE//PAD，…………………………………………8
∴……………………….9
…………………………..10
过O作OF⊥AD于F,则OF⊥PAD且OF=………11
∴
∴ 四面体体积为……………………………13.