Question

设点A（m，n）在直线y=-

a

b

x-

2c

b

的图象上，（其中a，b，c为直角三角形的三边长，c为斜边），则m²+n²的最小值为

4

．

Answer 1

分析：根据题意，m²+n²的几何意义是原点（0，0）与P（m，n）两点间距离的平方，从而可求得m²+n²的最小值．

解答：解：由题意，m²+n²的几何意义是原点（0，0）与P（m，n）两点间距离的平方，
要使m²+n²的值最小，则点P为原点O（0，0）在直线y=-

a

b

x-

2c

b

，
即ax+by+2c=0上的射影，故（m²+n²）_min=|PO|²，
∵a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边，∴a²+b²=c²，
由点到直线间的距离公式得：|PO|=

|2c|

a2+b2

=2，
∴（m²+n²）_min=4．
故答案为：4．

点评：本题考查两点间距离的几何意义，考查点到直线的距离公式，突出转化意识，属中档题．