Question

8．在等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2ⁿ+r（r为常数），记b_n=1+log₂a_n．
（1）求r的值；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n；
（3）记数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为P_n，若对任意正整数n，都有P_2n+1+$\frac{1}{n}$≤k+P_n，求实数k的最小值．

Answer 1

分析 （1）由a₁=S₁，a_n=S_n-S_n-1，可得数列{a_n}的通项，即可得到r=-1；
（2）b_n=n，a_nb_n=n•2^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，化简整理，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和；
（3）化简P_2n+1+$\frac{1}{n}$≤k+P_n，即为1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$+…+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{n}$≤k+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，化为k≥$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，可设f（n）=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，作差f（n+1）-f（n），判断单调性，可得最大值为f（1），即可得到k的最小值．

解答 解：（1）等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2ⁿ+r，
可得a₁=S₁=2+r；
a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+r-（2^n-1+r）=2^n-1，
上式对n=1也成立，即有2+r=1，
解得r=-1．
（2）b_n=1+log₂a_n=1+log₂2^n-1=1+n-1=n，
数列{a_nb_n}的前n项和T_n=1•2⁰+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，
2T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
两式相减可得，-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ，
化简可得，T_n=（n-1）•2ⁿ+1；
（3）数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为P_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，
P_2n+1+$\frac{1}{n}$≤k+P_n，即为1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$+…+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{n}$≤k+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，
化为k≥$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，
可设f（n）=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，
f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$+$\frac{1}{2n+3}$-（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2n+2}$+$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{n}$=-$\frac{5n+6}{n（2n+2）（2n+3）}$＜0，
即有f（n）在自然数集上递减，
可得f（1）取得最大值，且为1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{11}{6}$．
则k≥$\frac{11}{6}$．即实数k的最小值为$\frac{11}{6}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，注意运用数列的通项与求和的关系，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查数列不等式的恒成立问题，注意运用分离参数和数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．