分析 (1)由a1=S1,an=Sn-Sn-1,可得数列{an}的通项,即可得到r=-1;
(2)bn=n,anbn=n•2n-1,运用数列的求和方法:错位相减法,化简整理,结合等比数列的求和公式,即可得到所求和;
(3)化简P2n+1+$\frac{1}{n}$≤k+Pn,即为1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$+…+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{n}$≤k+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$,化为k≥$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$,可设f(n)=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$,作差f(n+1)-f(n),判断单调性,可得最大值为f(1),即可得到k的最小值.
解答 解:(1)等比数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n+r,
可得a1=S1=2+r;
an=Sn-Sn-1=2n+r-(2n-1+r)=2n-1,
上式对n=1也成立,即有2+r=1,
解得r=-1.
(2)bn=1+log2an=1+log22n-1=1+n-1=n,
数列{anbn}的前n项和Tn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n-1,
2Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n,
两式相减可得,-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2n,
化简可得,Tn=(n-1)•2n+1;
(3)数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为Pn=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$,
P2n+1+$\frac{1}{n}$≤k+Pn,即为1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$+…+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{n}$≤k+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$,
化为k≥$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$,
可设f(n)=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$,
f(n+1)-f(n)=$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$+$\frac{1}{2n+3}$-($\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$)
=$\frac{1}{2n+2}$+$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{n}$=-$\frac{5n+6}{n(2n+2)(2n+3)}$<0,
即有f(n)在自然数集上递减,
可得f(1)取得最大值,且为1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{11}{6}$.
则k≥$\frac{11}{6}$.即实数k的最小值为$\frac{11}{6}$.
点评 本题考查等比数列的通项公式的求法,注意运用数列的通项与求和的关系,考查数列的求和方法:错位相减法,同时考查数列不等式的恒成立问题,注意运用分离参数和数列的单调性,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
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A. | -$\sqrt{3}$ | B. | 0 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-1,1) | B. | (1,3) | C. | (-∞,-1) | D. | (-3,1) |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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