Question

1．已知命题p：方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：对任意x∈[0，8]，不等式log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，可得△＞0，解得m；命题q：不等式log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立等价于m²-3m小于或等于log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）在x∈[0，8]上的最小值，从而问题转化为利用单调性求函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）最小值问题，求得m的范围；若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，可得p与q必然一真一假，求解不等式组即可得答案．

解答 解：命题p：∵方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=4-4m＞0，解得m＜1；
命题q：f（x）=log$_{\frac{1}{3}}$（x+1），则f（x）在（-1，+∞）上为减函数，∵x∈[0，8]，
∴当x=8时，f（x）_min=f（8）=-2．不等式log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立，
等价于-2≥m²-3m，解得1≤m≤2．
p且q为假，p或q为真，则p与q有且只有一个为真．
若p为真，q为假，那么$\left\{\begin{array}{l}{m＜1或m＞2}\\{m＜1}\end{array}\right.$，则m＜1．
若p为假，q为真，那么 $\left\{{\begin{array}{l}{1≤m≤2}\\{m≥1}\end{array}}\right.$，则1≤m≤2．
综上所述m≤2．

点评 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了不等式恒成立问题的解法，恰当的将恒成立问题转化为求函数最值问题是解决本题的关键，考查了推理能力，属于中档题．