Question

【题目】已知圆A：（x+2）2+y2＝32，过B（2，0）且与圆A相切的动圆圆心为P．

（1）求点P的轨迹E的方程；

（2）设过点A的直线l1交曲线E于Q、S两点，过点B的直线l2交曲线E于R、T两点，且l1⊥l2，垂足为W（Q、S、R、T为不同的四个点），求四边形QRST的面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）设动圆半径为r，由于点B在圆A内，所以圆P与圆A内切，计算可得|PA|+|PB|＝4|AB|＝4，可得点P符合椭圆的定义，可得其轨迹的方程；

（2）若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为8，若两条直线的斜率都存在，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y＝k（x+2），联立直线与椭圆，设点Q（x1，y1），点S（x2，y2），可得 ，，可得|QS|的值，同理可得|RT|，由SQRST|QS||RT|，利用基本不等式可得其最小值.

解：（1）设动圆半径为r，由于点B在圆A内，所以圆P与圆A内切，

∴|PA|＝4r，|PB|＝r，

∴|PA|+|PB|＝4|AB|＝4，

∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其中a＝2，c＝2，

∴b2＝a2﹣c2＝4，

∴点P的轨迹E的方程为：；

（2）若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为8，

若两条直线的斜率都存在，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y＝k（x+2），

联立方程，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8＝0，

设点Q（x1，y1），点S（x2，y2），

∴，，

∴|QS|4，

同理可得|RT|＝4，

∴SQRST|QS||RT|，当且仅当2k2+1＝k2+2，即k＝±1时等号成立，

综上所述，当k＝±1时，四边形QRST的面积取到最小值．