Question

若存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立，则实数b的取值范围是

b＜-3+2

2

．

Answer 1

分析：①当x=0时a取任意实数不等式恒成立；②当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，再转化为x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立问题，下面利用函数g（x）=x+

b

x

的最值从而得解．

解答：解：问题等价于：当0≤x≤1时，x|x-a|+b＜0恒成立，当x=0时a取任意实数不等式恒成立
也即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立
令g（x）=x+

b

x

在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b（10分）
令h（x）=x-

b

x

，则h（x）在（0，

-b

]上单调递减，[

-b

，+∞）单调递增
1°当b＜-1时h（x）=x-

b

x

在0＜x≤1上单调递减
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．
2°当-1≤b＜2

2

-3时，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

，
∴a＜h_min（x）=2

-b

，∴1+b＜a＜2

-b

．
故可知b＜-3+2

2

时，存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立
故答案为：b＜-3+2

2

．

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查不等式的解法，考查运算求解能力，化归与转化思想，有一定的难度．