Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求B；
（2）若b=

3

，△ABC的周长为l，求l的最大值并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简（2a-c）cosB=bcosC，求出cosB的值，结合内角的范围求出B；
（2）由（1）和内角和定理可得A、C的关系及A的范围，由正弦定理求出

b

sinB

的值，代入三角形的周长l利用两角差与和的正弦公式化简，由A的范围和正弦函数的性质，求出l的最大值并判断此时△ABC的形状．

解答： 解：（1）由题意得，（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBsinC，
2sinAcosB=sinBsinC+cosBsinC=sin（B+C）
因为A+B+C=π，所以2sinAcosB=sinA，
因为0＜A＜π，所以sinA≠0，则cosB=

1

2

，
由0＜B＜π得，B=

π

3

；
（2）由（1）得，A+C=π-B=

2π

3

，则C=

2π

3

-A，
设△ABC的外接圆的半径为R，
又b=

3

，由正弦定理得2R=

b

sinB

=

3

sin π 3

=2，
则△ABC的周长为l=a+b+c=2（sinA+sinB+sinC）
=2（sinA+sinC+

3

2

）=2[sinA+sin（

2π

3

-A）]+

3

=2[sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA）]+

3

=2（

3

2

sinA+

3

2

cosA）+

3

=2

3

sin(A+

π

6

)+

3

，
因为C=

2π

3

-A＞0，所以0＜A＜

2π

3

，则

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
则当A+

π

6

=

π

2

时，l取到最大值3

3

，
此时A=

π

3

，△ABC是等边三角形．

点评：本题考查正弦定理，两角差与和的正弦公式，以及正弦函数的性质，属于中档题．