Question

【题目】已知函数f（x）=log2（ax2+4x+5）．
（1）若f（1）＜3，求a的取值范围；
（2）若a=1，求函数f（x）的值域．
（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因为f（1）=log2（a+9），

所以log2（a+9）＜3=log28，

所以0＜a+9＜8，

所以﹣9＜a＜﹣1．

即a的取值范围为（﹣9，﹣1）

（2）

解：当a=1时，f（x）=log2（x2+4x+5），

令t=x2+4x+5，则t=（x+2）2+1≥1，

f（x）=log2t在[1，+∞）上递增，

所以log2t≥log21=0，

所以函数f（x）的值域为[0，+∞）

（3）

解：当a=0时，y=f（x）=log2（4x+5），

显然值域为R，

a＜0时，△≥0即可，

16﹣20a≥0，解得：0＜a≤ ，

综上，a的范围是[0， ]

【解析】（1）计算f（1），得到关于a的不等式，解出即可；（2）令t=x2+4x+5，则t=（x+2）2+1≥1，问题转化为log2t≥log21=0，求出函数的值域即可；（3）通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出a的范围即可．