Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2

2

．
（1）若点P在底面ABC内的射影是点O，试指出点O的位置，并说明理由；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先判断AB⊥BC，再根据PA=PB=PC，即可得到结论；
（2）利用线面垂直，可得面面垂直；
（3）取BC的中点为E，过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F，则∠APF就是PA与平面PBC所成的角，由此可得结论．

解答：（1）解：∵AC=4，AB=BC=2

2

，∴AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC

∵PA=PB=PC，∴点P在底面ABC内的射影O，满足OA=OB=OC
∴O是AC的中点；
（2）证明：由（1）知，PO⊥平面ABC．
∵PO?平面APC，
∴平面ABC⊥平面APC；
（3）解：取BC的中点为E，过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F，则∠APF就是PA与平面PBC所成的角
∵PB=PC=4，BC=2

2

，又BE=CE，∴BE⊥PE，BE=

2

，
∴由勾股定理，有PE=

14

．
∴S_△PBC=

1

2

BC×PE=

1

2

×2

2

×

14

=2

7

．
∴V_A-PBC=

1

3

S_△PBC×AF=

2 7

3

AF．
∵PA=PC=AC=4，∴S_△PAC=

1

2

AC×PD=4

3

．
∵BD⊥平面PAC，∴V_B-PAC=

1

3

S_△PAC×BD=

8 3

3

．
∵V_A-PBC=V_B-PAC，∴

2 7

3

AF=

8 3

3

，∴AF=

4 3

7

．
∴sin∠APF=

AF

PA

=

4 3 7

4

=

21

7

．
∴PA与平面PBC所成角的正弦值为

21

7

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．