在平面直角坐标系xoy中.已知F1.F2分别是椭圆G:x2a2+y2b2=1的左.右焦点.椭圆G与抛物线y2=-4x有一个公共的焦点.且过点(-62.1)．(Ⅰ)求椭圆G的方程,(Ⅱ)设点P是椭圆G在第一象限上的任一点.连接PF1.PF2.过P点作斜率为k的直线l.使得l与椭圆G有且只有一个公共点.设直线PF1.PF2的斜率分别为k1.k2.试证明1kk1+1kk2为定值.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在平面直角坐标系xoy中，已知F₁，F₂分别是椭圆G：

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆G与抛物线y²=-4x有一个公共的焦点，且过点（-

，1）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆G在第一象限上的任一点，连接PF₁，PF₂，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆G有且只有一个公共点，设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，试证明

kk1

kk2

为定值，并求出这个定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，作F₂Q⊥F₂P，设F₂Q交l于点Q，证明：当点P在椭圆上移动时，点Q在某定直线上．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出c，利用点在椭圆上得到方程，通过椭圆值a、b、c的关系，即可求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设直线l方程为y=kx+m，并设点P（x₀，y₀），联立直线与椭圆方程利用相切推出k、m的关系式，求出的横坐标，直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，推出k₁=

x+1

，k₂=

x-1

，代入

kk1

kk2

即可求出这个定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，作F₂Q⊥F₂P，设F₂Q交l于点Q，求出Q的方程，即可判断点Q在某定直线上．

解答：

解：（Ⅰ）由题意得c=1，又

2a2

=1，…（2分）
消去b可得，2a⁴-7a²+3=0，解得a²=3或a²=

（舍去），则b²=2，
求椭圆G的方程为C：

=1．…（4分）
（Ⅱ）设直线l方程为y=kx+m，并设点P（x₀，y₀），
由

2x2+3y2-6=0

y=kx+m

⇒（3k²+2）x²+6kmx+3m²-6=0．
∵△=0⇒m²=2+3k²，…（6分）
x₀=-

3km

2+3k2

＞0，
当k＞0时，m＜0，直线与椭圆相交，
∴k＜0，m＞0，m²=2+3k²⇒m=

3-x02

，
由

x02

y02

=1⇒y₀²=

2(3-x02)

得m=

，
∴k=-

2x0

3y0

，…（8分）
y=-

2x0x

3y0

，整理得：

xx0

yy0

=1．
而k₁=

x+1

，k₂=

x-1

，代入

kk1

kk2

中得

kk1

kk2

3y0

2x0

(

x0+1

x0-1

)=-3为定值．…（10分）
（用导数求解也可，若直接用切线公式扣（4分），只得2分）
（ III）PF₂的斜率为：kPF2=

x0-1

，又由PF₂⊥F₂Q⇒kF2Q=-

x0-1

，
从而得直线F₂Q的方程为：y=-

x0-1

(x0-1)，联立方程

y=-

x0-1

(x0-1)

xx0

yy0

，
消去y得方程（x₀-3）（x-3）=0，因为x₀≠3，∴x=3，
即点Q在直线x=3上．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，轨迹方程的求法，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．

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（2）f（x）=

x2+2x

x2-x

；
（3）f（x）=x+

x+1

；
（4）f（x）=2x-

x+2

；
（5）f（x）=

x2-1

x2+1

；
（6）f（x）=5-x+

3x-1

．

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．
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|＜

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PF2

•

QF2

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|PN|

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