Question

【题目】已知函数f（x）=lnx，g（x）= +bx（a≠0）
（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+bex ， x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx． ∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴ 对x∈（0，+∞）恒成立，
∴ ，∵x＞0，则 ．
∴b的取值范围是 ．
（II）设t=ex ， 则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．
∵ ．
∴当 ，即 时，函数y在[1，2]上为增函数，
当t=1时，ymin=b+1；当1＜﹣ ＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣ 时， ；
，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，
当t=2时，ymin=4+2b．
综上所述：
（III）设点P、Q的坐标是（x1 ， y1），（x2 ， y2），且0＜x1＜x2 ．
则点M、N的横坐标为 ．
C1在点M处的切线斜率为 ．
C2在点N处的切线斜率为 ．
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2 ．
即 ．则
= ，
∴ 设 ，则 ，（1）
令 ，则 ，
∵u＞1，∴r′（u）＞0，
所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，
故r（u）＞r（1）=0，则 ，与（1）矛盾！
【解析】（I）根据a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；（II）先设t=ex ， 将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可；（III）先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．