Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π），x∈R图象的一条对称轴是$x=\frac{3π}{8}$，且这条对称轴与此函数图象交于点$（{\frac{3π}{8}，2}）$，这条对称轴与相邻对称轴间的曲线交x轴于点$（{\frac{5π}{8}，0}）$．    
（1）求这个函数的解析式．
（2）求函数f（x）在[0，π]内的单调递增区间；
（3）用“五点法”作出函数f（x）在一个周期内的简图．（先列表，后画图）

Answer 1

分析 （1）由题意，可求T，A，利用周期公式求得ω，又当$x=\frac{3π}{8}$时f（x）取最大值，可得$2×\frac{3π}{8}+φ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，结合范围-π＜φ＜π，可求φ，从而得解．
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，得：$kπ-\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{3π}{8}，k∈Z$，结合0≤x≤π，即可得解．
（3）作出一个周期上的表格，在坐标系中描点，连线成图，

解答 解：（1）由题意，函数f（x）的周期T=4（$\frac{5π}{8}$-$\frac{3π}{8}$）=π，A=2，ω=2，…（2分）
∴f（x）=2sin（2x+φ），
又当$x=\frac{3π}{8}$时f（x）取最大值，
所以，$2×\frac{3π}{8}+φ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
又-π＜φ＜π，∴$φ=-\frac{π}{4}$，
∴$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{4}}）$．…（5分）
（2）∵由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，得：$kπ-\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{3π}{8}，k∈Z$，
又∵0≤x≤π，
∴$0≤x≤\frac{3π}{8}$或$\frac{7π}{8}≤x≤π$，
∴函数f（x）在[0，π]内的单调递增区间是$[{0，\frac{3π}{8}}]，[{\frac{7π}{8}，π}]$．…（10分）
（3）第一步画出表格如下：

2x-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	$\frac{9π}{8}$
y	0	2	0	-2	0

第二步，从坐标系中描点，
第三步，连线成图如下：
…（16分）（列表（3分），画图3分）

点评 本题主要考查了三角函数的五点法作图，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，此类题关键是掌握住五点法作图的规则与步骤，按要求作图即可，属于基本知识的考查．