Question

A．（不等式选做题）不等式|x-1|+|x+2|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围为    ．
B．（几何证明选做题）如图，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE=    ．
C．（极坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知曲线p=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，则实数a的值为    ．

Answer 1

【答案】分析：A，利用绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a+b|（当且仅当a与b同号取等号），求出原不等式左边的最小值，让a大于等于求出的最小值，即可得到满足题意的实数a的取值范围．
B，先由余弦定理求出PD，再根据割线定理即可求出PE，问题解决．
C，先圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．
解答：解：A：∵|x+2|+|x-1|=|x+2|+|1-x|≥|x+2+1-x|=3，
∴|x+2|+|x-3|的最小值为3，
又不等式|x+2|+|x-3|≤a的解集不是空集，
∴a≥3．
故答案为：（3，+∞）；
B：由余弦定理得，PD²=OD²+OP²-2OD•OPcos120°=1+4-2×1×2×（-）=7，
所以PD=．
根据割线定理PE•PD=PB•PC得，PE=1×3，
所以PE=．
故答案为 ．
C：p²=2pcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x²+y²=2x，（x-1）²+y²=1，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，
又圆与直线相切，所以 =1，解得：a=2，或a=-8．
故答案为：a=2或a=-8
点评：A：此题考查绝对值不等式的性质及其解法，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．B：已知三角形两边与夹角时，一定要想到余弦定理的运用，之后做题的思路也许会豁然开朗．C：本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．