Question

已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|（x-a）•（x-3a）＜0}．
（1）若A∪B=B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B={x|3＜x＜4}，求实数a的值．

Answer 1

解：A={x|2＜x＜4}，
（1）∵A∪B=B，∴A⊆B，
a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，
∴，解得≤a≤2
a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，显然A?B；
a=0时，B=Φ，显然不符合条件
∴≤a≤2时，A∪B=B
（2）要满足A∩B={x|3＜x＜4}，由（1）知，a＞0且a=3时成立．
∵此时B={x|3＜x＜9}，A∩B={x|3＜x＜4}，
故所求的a值为3．
分析：（1）先解不等式x²-6x+8＜0，得集合A，（1）由于不等式（x-a）•（x-3a）＜0的解集与a的取值有关，故讨论a的范围，得集合B，再利用数轴得满足条件的a的不等式，解得a的范围；
（2）由（1）知，若A∩B={x|3＜x＜4}，则a＞0且a=3时成立，从而得a的值
点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合间的关系，集合的运算，分类讨论的思想方法，转化化归的思想方法