Question

已知函数f（x）=x-ax²-lnx（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-2，求a的值以及切线方程；
（2）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=1-2ax-．…（2分）
由题设，f′（1）=-2a=-2，a=1，
此时f（1）=0，切线方程为y=-2（x-1），即2x+y-2=0．…（5分）
（2）f′（x）=-，
令△=1-8a．
当a≥时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减．…（10分）
当0＜a＜时，△＞0，方程2ax²-x+1=0有两个不相等的正根x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，
则当x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＞0，
这时f（x）不是单调函数．
综上，a的取值范围是[，+∞）．…（12分）
分析：（1）先求函数f（x）的导数，再根据导数的几何意义列式求出a值，最后再根据直线的方程写出切线的方程即可．
（2）对函数求导，要讨论函数的单调性，只要讨论a的范围再判断f′（x）的符号即得．
点评：本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性，导数的几何意义在切线的求解中的应用，属于中档试题