Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，上、下顶点分别为A₁，A₂，椭圆上的点到上焦点F₁的距离的最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）以原点为顶点，F₁为焦点的抛物线上的点P（非原点）处的切线与x轴，y轴分别交于Q、R两点，若

PQ

=λ

PR

，求λ的值．
（3）是否存在过点（0，m）的直线l，使得l与椭圆相交于A、B两点（A、B不是上、下顶点）且满足

A1A

•

A1B

=0，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）椭圆上的点在上顶点时到上焦点F₁的距离的最小，进而根据椭圆的离心率求得a和c，进而根据b²=a²-c²，求得b，椭圆的方程可得．
（2）先求得椭圆的焦点坐标，进而可得抛物线方程，进而对抛物线方程进行求导，设出p点坐标，则可知该点出的切线的斜率，则切线方程可得．进而求出Q和R的坐标，进而表示出

PQ

和

PR

进而求得λ．
（3）假设存在过点（0，m）的直线l，满足条件，则l的斜率必存在，进而可设直线方程与椭圆联立方程消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据判别式大于0求得m的范围，根据韦达定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出

A1A

和

A1B

根据

A1A

•

A1B

=0求得m的值，最后进行检验看m是否符合．

解答：解：（1）依题意得：

c a = 1 2 a-c=1

，∴

a=2 c=1

，∴b²=a²-c²=3
∴所求的椭圆方程为：

y2

4

+

x2

3

=1．

（2）由（1）知，F₁（0，1）则抛物线的方程为x²=4y
即y=

1

4

x2∴y′=

1

2

x
设P(t，

t2

4

)(t≠0)则该点处的切线的斜率k=y′|x=t=

t

2

∴切线方程为y-

t2

4

=

t

2

(x-t)
令y=0得Q(

t

2

，0)令x=0得R(0，-

t2

4

)
∴

PQ

=(-

t

2

，-

t2

4

)

PR

=(-t，-

t2

2

)
∴

PQ

=

1

2

PR

即λ=

1

2

．

（3）假设存在过点（0，m）的直线l，满足条件，则l的斜率必存在，
∴可设l方程为y=kx+m联立

y=kx+m y2 4 + x2 3 =1

消去y得（4+3k²）x²+6mkx+3（m²-4）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则

△=36m2k2-12(4+3k2)(m2-4)＞0① x1+x2=- 6mk 4+3k2 ② x1x2= 3(m2-4) 4+3k2 ③

由①得4+3k²-m²＞0
由②③及直线l的方程得y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²
=

4(m2-3k2)

4+3k2

y₁+y₂=（kx₁+m）+（kx₂+m）=k（x₁+x₂）+2m
=

8m

4+3k2

∵椭圆的上顶点为A₁（0，2），

A1A

•

A1B

=0
∴x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=0即x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=0
∴

3(m2-4)

4+3k2

+

4(m2-3k2)

4+3k2

-2×

8m

4+3k2

+4=0
整理得7m²-16m+4=0解得m=

2

7

或m=2
当m=2时，直线l的方程为y=kx+2过椭圆的上顶点A₁（0，2）与已知矛盾
当m=

2

7

时，直线l的方程为y=kx+

2

7

符合题意
∴存在过点（0，m）的直线l，使得l与椭圆相交于A、B两点，且满足

A1A

•

A1B

=0，实数m的值为

2

7

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系．考查了学生对圆锥曲线知识的综合掌握．