Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

≤φ＜

π

2

）的图象关于直线x=

π

3

对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）由题意易得周期为π，可得ω，再由对称轴可得φ值，可得解析式；
（II）由x范围结合三角函数的性质可得最值．

解答： 解：（I）∵函数f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴?（x）的最小正周期T=π，∴ω=

2π

T

=2，
又∵f（x）图象关于直线x=

π

3

对称，
∴2×

π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
∵-

π

2

≤φ＜

π

2

，∴φ=-

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）；
（II）由（I）知f（x）=2sin（2x-

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴f(x)min=f(0)=-1，f(x)max=f(

π

3

)=2

点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的对称性和最值，属中档题．