Question

【题目】已知函数f（x）=2|x+1|+ax（x∈R）．
（1）证明：当 a＞2时，f（x）在 R上是增函数；
（2）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由函数f（x）=2|x+1|+ax（x∈R），

得 ，

当a＞2时，则a+2＞0，a﹣2＞0，

上述函数在每一段上都是增函数，

且它们在x=﹣1处的函数值相同，

∴当 a＞2时，f（x）在 R上是增函数

（2）解：根据（1），若函数存在两个零点

则满足 ，

解得0＜a＜2，

∴函数f（x）存在两个零点，a的取值范围为（0，2）

【解析】（1）首先，去掉绝对值，然后，将函数 f（x）写成分段函数的形式，针对x的取值情况，进行每一段上判断函数为增函数即可；（2）则根据（1），当x≥﹣1，a+2＞0，当x＜﹣1，a﹣2＜0，f（﹣1）=﹣a＜0，求解a 的取值范围即可．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数的零点与方程根的关系，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点才能得出正确答案．