Question

4．函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{2}f（{x}_{1}）-{x}_{1}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，记a=-log₂3•f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$2），b=f（1），c=4f（0.5²），则（　　）

• A． c＜b＜a
• B． b＜a＜c
• C． c＜a＜b
• D． a＜b＜c

Answer 1

分析 设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，∵对任意两个不相等的正数x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{2}f（{x}_{1}）-{x}_{1}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，可得g（x）在（0，+∞）上单调递增，分别化简a，b，c，即可得出结论．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，∵对任意两个不相等的正数x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{2}f（{x}_{1}）-{x}_{1}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵a=-log₂3•f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$2）=g（log${\;}_{\frac{1}{3}}$2），b=f（1）=g（1），c=4f（0.5²）=g（0.5²），log${\;}_{\frac{1}{3}}$2＜0＜0.5²＜1，
∴c＜a＜b．
故选：C．

点评 本题考查大小比较，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数是关键．