Question

对于函数f（x），在使f（x）≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值称为函数f（x）的“上确界”则函数f（x）=

(x+1)2

x2+1

的上确界为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、2
• D、4

Answer 1

分析：先对函数f（x）进行整理，转化为求

2x

x2+1

的取值范围问题，再借助于基本不等式即可求出结论．

解答：解：因为f（x）=

(x+1)2

x2+1

=

x2+2x+1

x2+1

=1+

2x

x2+1

又因为x²+1=|x|²+1≥2|x|≥2x
∴

2x

x2+1

≤1．
∴f（x）≤2．
即在使f（x）≤M成立的所有常数M中，M的最小值为2．
故选C．

点评：本题主要考查函数的值域．解决本题的关键在于理解题意，知道所求问题就是求函数f（x）的最大值．