Question

4．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=2且4S_n=a_n•a_n+1，（n∈N^*），数列{b_n}中，${b_1}=\frac{1}{4}$，且b_n+1=$\frac{n{b}_{n}}{（n+1）-{b}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${c_n}=\frac{a_n}{{{2^{\frac{1}{{3{b_n}}}+\frac{2}{3}}}}}$，求{c_n}的前n项和T_n；
（3）证明：对一切n∈N^*，$\sum_{i=1}^n{\frac{{3•{2^{{a_i}-2}}}}{{{{（{2^{a_i}}-1）}^2}}}＜\frac{2}{3}}$．

Answer 1

分析 （1）当n=1时计算可知a₂=4，n≥2时通过4S_n=a_n•a_n+1与4S_n-1=a_n•a_n-1两式相减整理得a_n+1-a_n-1=4，进而计算可得结论；
（2）通过对b_n+1=$\frac{n{b}_{n}}{（n+1）-{b}_{n}}$（n∈N^*）两边同时取倒数、变形可知$\frac{1}{{（n+1）{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{n{b_n}}}-\frac{1}{n（n+1）}$、$\frac{1}{{n{b_n}}}-\frac{1}{{（n-1）{b_{n-1}}}}=-（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$、$\frac{1}{{（n-1）{b_{n-1}}}}-\frac{1}{{（n-2）{b_{n-2}}}}=-（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}）$、…、$\frac{1}{{2{b_2}}}-\frac{1}{b_1}=-（1-\frac{1}{2}）$$\frac{1}{{n{b_n}}}=\frac{3n+1}{n}$，累加可知${b_n}=\frac{1}{3n+1}$，进而利用错位相减法计算即得结论；
（3）通过（1）放缩、裂项可知$\frac{{3•{2^{2i-2}}}}{{{{（{2^{2i}}-1）}^2}}}=\frac{{3•{4^{i-1}}}}{{{{（{4^i}-1）}^2}}}＜\frac{{3•{4^{i-1}}}}{{（{4^i}-1）（{4^{i-1}}-1）}}=\frac{1}{{{4^{i-1}}-1}}-\frac{1}{{{4^i}-1}}$，进而并项相加即得结论．

解答 （1）解：由题可知，当n=1时a₂=4…（1分）
当n≥2时，4S_n=a_n•a_n+1，4S_n-1=a_n•a_n-1，
两式相减得4a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
又∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=4…（2分）
∴数列{a_n}的奇数项和偶数项分别构成以4为公差的等差数列…（3分）
当n=2k-1，n∈N^*时，a_n=a_2k-1=4k-2=2n；
当n=2k，n∈N^*时，a_n=a_2k=4k=2n；
∴${a_n}=2n（n∈{N^*}）$…（5分）
（2）解：∵b_n+1=$\frac{n{b}_{n}}{（n+1）-{b}_{n}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{{b_{n+1}}}}=\frac{n+1}{{n{b_n}}}-\frac{1}{n}$，
整理得：$\frac{1}{{（n+1）{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{n{b_n}}}-\frac{1}{n（n+1）}$…（6分）
∴$\frac{1}{{n{b_n}}}-\frac{1}{{（n-1）{b_{n-1}}}}=-（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，
$\frac{1}{{（n-1）{b_{n-1}}}}-\frac{1}{{（n-2）{b_{n-2}}}}=-（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}）$，
…
$\frac{1}{{2{b_2}}}-\frac{1}{b_1}=-（1-\frac{1}{2}）$$\frac{1}{{n{b_n}}}=\frac{3n+1}{n}$，
∴${b_n}=\frac{1}{3n+1}$（n≥2），
当n=1时也适合${b_n}=\frac{1}{3n+1}$（n∈N^*）…（8分）
∴${c_n}=\frac{n}{2^n}$，
错位相减得${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$…（10分）
（3）证明：由（1）可知$\frac{{3•{2^{2i-2}}}}{{{{（{2^{2i}}-1）}^2}}}=\frac{{3•{4^{i-1}}}}{{{{（{4^i}-1）}^2}}}＜\frac{{3•{4^{i-1}}}}{{（{4^i}-1）（{4^{i-1}}-1）}}=\frac{1}{{{4^{i-1}}-1}}-\frac{1}{{{4^i}-1}}$…（12分）
∴$\sum_{i=1}^n{\frac{{3•{2^{{a_i}-2}}}}{{{{（{2^{a_i}}-1）}^2}}}}$=$\frac{1}{3}+（\frac{1}{4-1}-$$\frac{1}{{{4^2}-1}}+\frac{1}{{{4^2}-1}}-\frac{1}{{{4^3}-1}}+…\frac{1}{{{4^{n-1}}-1}}-\frac{1}{{{4^n}-1}}）$
=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{{{4^n}-1}}＜\frac{2}{3}$…（14分）

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．