Question

（1）设函数f（x）=x²-1，对任意x∈[

3

2

，+∞)，f(

x

m

)-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是

（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）

．
（2）函数f（x）=

2-x-1(x≤0) f(x-1)，(x＞0)

，若方程f（x）=x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围是

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：（1）将函数代入，再化简并分离参数，确定函数的最值，即可求得m的取值范围；
（2）在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．

解答：解：（1）把f（x）=x²-1代入，

x2

m2

-1-4m²（x²-1）≤（x-1）²-1+4（m2-1）
化简分离参数，由x∈[

3

2

，+∞）可得

1

m2

-4m²≤-

3

x2

-

2

x

+1
令y=-

3

x2

-

2

x

+1，由x∈[

3

2

，+∞）可得函数在由x∈[

3

2

，+∞）上单调递增，所以x=

3

2

时，y取得最小值为-

8

3

所以得

1

m2

-4m²≤-

8

3

整理得：12m⁴-5m²-3≥0
所以（3m²+1）（4m²-3）≥0，所以4m²-3≥0
即m∈（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）；
（2）函数f（x）=

2-x-1(x≤0) f(x-1)，(x＞0)

的图象如图所示，
当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根．
故答案为：（1）（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）；
（2）（-∞，1]

点评：本题考查恒成立问题，考查方程根的研究，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．