Question

（本小题12分）椭圆的左、右焦点分别为、，直线经过点与椭圆交于两点。

（1）求的周长；

（2）若的倾斜角为，求的面积。

 

Answer 1

【答案】

（1）， 的周长为。

（2）。

【解析】本题考查三角形周长的求法和三角形面积的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，注意椭圆定义、韦达定理在解题中的合理运用．

（1）由椭圆的定义，得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，又AF₁+BF₁=AB，所以，△ABF₂的周长=AB+AF₂+BF₂=4a．再由a²=4，能导出△ABF₂的周长．

（2）由F₁（-1，0），AB的倾斜角为 ，知直线AB的方程为y=x+1．由

消去x，得7y²-6y-9=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），借助韦达定理能够求出△ABF₂的面积．

解：（1）由椭圆的定义，得，， ----------2分

又，所以的周长为。--------4分

又因为，所以，故的周长为。-----------5分

（2）由条件，得，因为的倾斜角为，所以斜率为，

故直线的方程为。-----------------6分

由消去，得， ------------------8分

设，解得， -------------10分

所以。------------------12分