Question

（2012•湛江二模）设x=1是函数f(x)=

x+b

x+1

e-ax的一个极值点（a＞0，e为自然对数的底）．
（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（2）设m＞-1，若f（x）在闭区间[m，m+1]上的最小值为0，最大值为

1

2

e-a，求m与a的值．

Answer 1

分析：（1）因为x=1是函数f(x)=

x+b

x+1

e-ax的一个极值点，所以f′（1）=0，先将x=1代入f′（x），即可得a与b的关系式，再将f′（x）中的b用a代换，通过解不等式即可求得函数的单调区间．
（2）当-1＜m≤0时，由（1）知f（x）在闭区间[m，m+1]上是增函数，所以f（m）=0，且f（m+1）=

1

2

e-a，解方程无解；当m≥1时，由（1）知f（x）在闭区间[m，m+1]上是减函数，所以f（m+1）=0，解方程无解；当0＜m＜1时，由（1）知f（x）在区间[m，1]上是增函数，在区间[1，m+1]上是减函数，所以f（1）=

1

2

e-a，f（m）=0，解方程即可获解

解答：解：（1）f′（x）=-

[ax2+(ab+a)x+ab+b-1]

(x+1)2

e-ax
由已知有：f′（1）=0，
∴a+（ab+a）+ab+b-1=0，
∴b=

1-2a

2a+1

（3分）
从而f′（x）=-

a(x-1)(x+ 2a+3 2a+1 )

(x+1)2

e-ax
令f′（x）=0得：x₁=1，x₂=-

2a+3

2a+1

．
∵a＞0∴x₂＜-1
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，x2）	（x2，-1）	（-1，1）	（1，+∞）
f′（x）	-	+	+	-
f（x）	减函数	增函数	增函数	减函数

从上表可知：f（x）在(-∞，-

2a+3

2a+1

)，（1，+∞）上是减函数；
在(-

2a+3

2a+1

，-1)，（-1，1）上是增函数
（2）∵m＞-1，由（ I）知：
①当-1＜m≤0时，m+1≤1，f（x）在闭区间[m，m+1]上是增函数．
∴f（m）=0，且f（m+1）=

1

2

e-a．
化简得：b=-m，

2

m+2

=eam．
又

2

m+2

＞1，e^am＜1．故此时的a，m不存在
②当m≥1时，f（x）在闭区间[m，m+1]上是减函数．
又x＞1时f(x)=

x+b

x+1

e-ax=

x-1+ 2 2a+1

x+1

e-ax＞0．其最小值不可能为0
∴此时的a，m也不存在                                    
③当0＜m＜1时，m+1∈（1，2）
则最大值为f（1）=

1

2

e-a，得：b=0，a=

1

2

又f（m+1）＞0，f（x）的最小值为f（m）=0，
∴m=-b=0．
综上知：m=0.a=

1

2

点评：本题综合考查了导数在函数单调性、极值、最值问题中的应用，考查了分类讨论的思想，运算量和思维量都较大，解题时要细致运算，耐心讨论