Question

如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．
（1）求函数f（t）的解析式；
（2）画出y=f（t）的函数图象，并求y=f（t）的值域．
（注：画图时标明关键点的坐标．）

Answer 1

【答案】分析：（1）在求f（t）的解析式时，关键是要根据图象，对t的取值进行恰当的分类，然后进行讨论；
（2）给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象，由解析式求出值域．
解答：解：（1）①当0＜t≤1时，
如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，
又=，∴|CD|=t，∴f（t）=|OC|•|CD|=tt=．
②当1＜t≤2时，
如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2-t，
=，∴|MN|=（2-t），
∴f（t）=•2•-•|AN|•|MN|=-（2-t）²=-+2t-；
③当t＞2时，f（t）=．
综上所述f（t）=．
（2）f（t）=．图象如图所示：
当0＜t≤1时，0＜f（t）≤；当1＜t≤2时，＜f（t）≤；当t＞2时，f（t）=．所以f（t）的值域为（0，]．
点评：分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式．对于分段函数，注意处理好各段的端点．