Question

如图，空间四边形PABC中，PB⊥底面ABC，∠BAC=90°；过点B作BE，BF分别垂直于AP，CP于点E，F．
（1）求证：AC⊥面PAB；
（2）求证：PC⊥EF．

Answer 1

解：（1）∵PB⊥底面ABC，AC?平面ABC
∴PB⊥AC
又∵∠BAC=90°；
∴AC⊥AB
又PB∩AB=B
∴AC⊥面PAB；
（2）由（1）的结论，由BE?平面PAB
∴AC⊥BE，又由BE⊥AP，AC∩AP=A
∴BE⊥平面PAC
∴BE⊥PC
∵BF⊥PC，BF∩BE=B
∴PC⊥平面BEF
∴PC⊥EF
分析：（1）由已知中PB⊥底面ABC，∠BAC=90°；我们易得PB⊥AC且AC⊥AB，由线面垂直的判定定理可得，AC⊥面PAB；
（2）由（1）的结论由线面垂直的性质，可得AC⊥BE，结合已知中过点B作BE，BF分别垂直于AP，CP于点E，F，由线面垂直的判定定理和性质定理，我们依次可证得BE⊥平面PAC，PC⊥平面BEF，最后再由线面垂直的性质得到PC⊥EF．
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间中线线垂直与线面垂直之间的相互转化及辩证关系，是解答本题的关键．