Question

函数y=2

3

sinxcosx-cos2x+sin2x的图象在[0，m]上恰好有两个点的纵坐标为1，则实数m的取值范围是

[

π

2

，

7π

6

）

．

Answer 1

分析：将函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由函数的图象在[0，m]上恰好有两个点的纵坐标为1，令函数值为1，表示出x，根据k为整数，取k=0，k=1，分别求出对应x的值，即可确定出m的范围．

解答：解：y=2

3

sinxcosx-cos²x+sin²x=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∵函数的图象在[0，m]上恰好有两个点的纵坐标为1，
∴令y=2sin（2x-

π

6

）=1，即sin（2x-

π

6

）=

1

2

，
∴2x-

π

6

=2kπ+

π

6

或2x-

π

6

=2kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴x=kπ+

π

6

或x=kπ+

π

2

，k∈Z，
取k=0，得到x=

π

6

或

π

2

；取k=1，得到x=

7π

6

或

3π

2

，
则实数m的范围为[

π

2

，

7π

6

）．
故答案为：[

π

2

，

7π

6

）

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．