Question

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+4）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
令x₁=x₂=1，可求f（1）
（2）由（1）赋值可求f（-1）=0，进而可求f（-1×x）=f（-x）=f（1）+f（x）=f（x），可得f（x）为偶函数
（3）由已知f（4）=1可求得，f（64）=f（16×4）=f（16）+f（4）=f（4×4）+f（4）=3f（4）=3，由f（3x+4）≤3=f（64）及f（x）在（0，+∞）上是增函数可得|3x+4|≤64解不等式可求

解答：解：（1）对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
令x₁=x₂=1，f（1）=f（1）+f（1）=2f（1）
∴f（1）=0
（2）∵f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0
∴f（-1）=0
则f（-1×x）=f（-x）=f（1）+f（x）=f（x）
∴f（x）为偶函数
（3）∵f（4）=1
∴f（64）=f（16×4）=f（16）+f（4）=f（4×4）+f（4）=3f（4）=3
∴f（3x+4）≤3=f（64）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数
∴|3x+4|≤64
∴-64≤3x+4≤64
∴-

68

3

≤x≤20

点评：对于抽象函数的函数值的求解一般采用赋值法，而对抽象函数的单调性的求解可以利用函数的单调性的定义，结合赋值法可求．