Question

9．已知函数f（x）=4^x-2^x+1+3，当x∈[-2，1]时，f（x）的最大值为m，最小值为n，
（1）若角α的终边经过点P（m，n），求sinα+cosα的值；
（2）g（x）=mcos（nx+$\frac{π}{m}$）+n，求g（x）的最大值及自变量x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用指数函数与二次函数的单调性可得m，n，再利用三角函数的定义即可得出；
（2）利用余弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵函数f（x）=4^x-2^x+1+3=（2^x）²-2•2^x+3=（2^x-1）²+2，
当x∈[-2，1]时，2^x∈$[\frac{1}{4}，2]$．
∴当2^x=1，即x=0时，函数f（x）取得最小值2，即n=2．
又f（-2）=$\frac{41}{12}$，f（1）=3．
∴f（x）的最大值为3，即m=3，
∴角α的终边经过点P（3，2），
∴sinα=$\frac{2}{\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，cosα=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴sinα+cosα=$\frac{5\sqrt{13}}{13}$．
（2）g（x）=mcos（nx+$\frac{π}{m}$）+n=3$cos（2x+\frac{π}{3}）$．
当$2x+\frac{π}{3}$=2kπ，解得x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z）时，$cos（2x+\frac{π}{3}）$取得最大值1，g（x）取得最大值3．
此时x的取值集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z）}．

点评 本题考查了指数函数与二次函数的单调性、三角函数的定义、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．