Question

【题目】已知函数y＝f（x）＝。

（1）求y＝f（x）的最大值；

（2）设实数a>0，求函数F（x）＝af（x）在[a，2a]上的最小值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

试题（1）令＝0，求得极值点，因此可得到单调区间，从而得到最大值；

（2）根据（1）可知F（x）的单调性，得到F（x）在[a，2a]上的最小值为F（a）和F（2a）之中的较小者，作差讨论即可得到结果.

试题解析：（1）＝.

令＝0得x＝e.

因为当x∈（0，e）时，>0，f（x）在（0，e）上为增函数；

当x∈（e，＋∞）时，<0，f（x）在（e，＋∞）上为减函数，

所以f（x）max＝f（e）＝。

（2）因为a＞0，由（1）知，F（x） 在（0，e）上单调递增，

在（e，＋∞）上单调递减，

所以F（x） 在[a，2a]上的最小值F（x）min＝min{F（a），F（2a）}。

因为F（a）－F（2a）＝，

所以当0<a≤2时，F（a）－F（2a）≤0，F（x）min＝F（a）＝ln a，

当a>2时，F（a）－F（2a）>0，F（x）min＝F（2a）＝ln2a