Question

在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=

3

5

，tan

B

2

+cot

B

2

=

26

5

，c=9
（1）求tanB的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）先根据弦切之间的关系对tan

B

2

+cot

B

2

=

26

5

进行化简，再由二倍角公式可得到sinB的值，结合cosA的值可判断B为锐角，进而可得到tanB的值．
（2）根据诱导公式得到sinC=sin（A+B），根据两角和与差的正弦公式和（1）中的sinB，sinA，cosB，cosA的值可求得sinC的值，再由正弦定理可求得a的值，最后根据三角形的面积公式可求得答案．

解答：解：（1）由tan

B

2

+cot

B

2

=

sin2 B 2 +cos2 B 2

sin B 2 •cos B 2

=

1

sin B 2 •cos B 2

=

26

5

，
得sinB=

5

13

∵cosA=

3

5

，∴sinA=

4

5

＞sinB，∴B为锐角
∴cosB=

12

13

，
∴tanB=

5

12

（2）sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

4

5

×

12

13

+

3

5

×

5

13

=

63

65

又∵c=9，∴

a

sinA

=

c

sinC

，得a=

52

7

∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

52

7

×9×

5

13

=

90

7

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的公式、正弦定理的应用，三角函数内的公式比较多，容易记混，在平时一定要多注意积累，到考试时才能做到游刃有余．